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SOLUCIONARIO EN WORD

DISCONTINUIDAD NO EVITABLE

DISCONTINUIDAD NO EVITABLE

Existen otros tipos de discontinuidades que no pueden resolverse, por lo que se llaman discontinuidades no evitables. Estas discontinuidades se clasifican en:

- Discontinuidades de salto: cuando existen ambos límites laterales (por la derecha y por la izquierda), pero no coinciden.
- Discontinuidades asintóticas: cuando el límite es infinito.
- Discontinuidades por el dominio de definición: cuando existe el límite y la función está definida en el punto, pero ambos valores no coinciden.
- En sentido genérico, se llama discontinuidad de segunda especie a la que tiene lugar cuando uno de los límites laterales es finito y el otro es infinito o no existe.

REF: Descartes 2D: Discontinuidades

DISCONTINUIDADES EVITABLES Y NO EVITABLES

Discontinuidad evitable:

Toda función que no cumpla con las condiciones necesarias para la continuidad se denomina discontinua. Cuando la discontinuidad existe porque hay un límite de la función en el punto, pero la función no esta definida para el mismo, se habla de discontinuidad evitable.

Para obtener una nueva función que sea continua también en el punto de discontinuidad evitable, se procede del modo siguiente:
- Se calcula el valor del límite de la función en el punto a.
- Se añade el punto a al dominio de definición de la función, y se le asigna el valor:

REF: Descartes 2D: Discontinuidades

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN CONTINUA

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:

- La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.
- El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.
- El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.
- Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

REF:James R. Munkres (2002): Topología, Madrid.

SEMANA 13: CONTINUIDAD DE FUNCIONES

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

 CONCEPTO:

 Intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.

 Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:
- La función existe en a.
- Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.
- El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.

Ref:  Serge Lang (1990): Introducción al análisis Matemático , Wilmington Delaware.

EJERCICIOS DE EJEMPLO

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INTEGRANTES DEL GRUPO

INTEGRANTES:

Velarde Melendez, Daniela
Obesso Rengifo, Yamile 
Reyes Diaz, Jeimy 
Ganoza Villaverde, Olenka

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VÍDEO DE LOS EJERCICIOS

OBJETIVOS

OBJETIVOS DEL BLOG:

Nuestro blog tiene como objetivo fomentar el interés de muchas personas por querer saber más sobre temas no tan comunes, de manera breve y precisa.

OBJETIVOS DEL TEMA:

Los objetivos de este tema son los de comprender de manera fácil las formas de hallar la función compuesta y sus dominios, usando las propiedades brindadas en este blog.

Función bien definida

Función bien definida

 La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

 1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia.

 2.Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).



      Ref: Braun, M.

PRIMERAS DEFINICIONES

Referencias dentro de la imagen

PROPIEDADES

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

 1. La función compuesta cumple la propiedad asociativa: h∘ (g∘ f)= (h∘ g)∘ f

 2. La función compuesta no es conmutativa: (g∘ f) ≠ (f∘ g)

 3. Tiene elemento neutro que es la función identidad I(x)=x: (I∘ g)=(g∘ I)=g

 4. La composición de una función con su inversa nos da la función identidad, es decir, existe elemento simétrico, el cual es la función inversa

5. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición

6. Si f es derivable en x y g es a su vez derivable en f(x), entonteces existe la derivada de la función compuesta y se calcula utilizando la conocida regla de la cadena:  (g∘ f)´(x)=g´(f(x))f´(x)


 Ref: Weisstein, Eric W. «Composition». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN COMPUESTA?

Antes que nada debemos saber de que normalmente las funciones dependen de una sola variable. Pero cuando hablamos de una función compuesta debemos saber que la función en vez de depender de "X" va a depender de otra función.

Si tenemos dos funciones, como "f" y "g", esta se definirá como nueva función, tal que la función "g"  va a depender de la función "f"

 

Ref: "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.